Probabilidad para diseñadores: diseña también para la mala suerte

Un enemigo suelta un objeto especial con un 10 % de probabilidad. "En promedio, uno de cada diez enemigos", piensas, y lo das por resuelto. Pero ese promedio esconde algo importante: algunos jugadores van a necesitar muchísimos más intentos, y para ellos el juego se va a sentir roto. Con un poco de probabilidad, que no exige más que multiplicaciones, puedes verlo antes de que pase.

Lo básico en dos reglas

La probabilidad de un resultado es la cantidad de casos favorables dividida por los casos posibles, cuando todos son igual de probables. Sacar un 6 con un dado: 1 de 6, alrededor de un 17 %. Con eso y dos reglas se resuelve casi todo:

• Que pasen dos cosas independientes: se multiplican. Dos seis en dos dados: 1/6 × 1/6 = 1/36.
• Que algo no pase: 1 menos la probabilidad de que pase. No sacar un 6: 1 − 1/6 = 5/6.

La fórmula más útil: al menos una vez

Si algo tiene una probabilidad p en cada intento, la probabilidad de que ocurra al menos una vez en n intentos es:

1 − (1 − p) elevado a n

Volvamos al objeto con un 10 % de probabilidad:

Uno de cada diez jugadores seguirá sin el objeto después de 22 enemigos, y uno de cada cien, después de 44. Si tu juego tiene miles de jugadores, esas personas existen. La pregunta de diseño no es solo "¿cuánto tarda en promedio?", sino "¿qué experiencia tiene el jugador menos afortunado, y es aceptable?".

El valor esperado: comparar opciones con azar

El valor esperado es lo que entrega una opción en promedio si se repitiera muchas veces: cada resultado multiplicado por su probabilidad, todo sumado. Un cofre que da 10 monedas la mitad de las veces, 20 monedas un 30 % y 50 monedas un 20 % vale en promedio:

0,5 × 10 + 0,3 × 20 + 0,2 × 50 = 21 monedas

Si el jugador puede elegir entre ese cofre o 18 monedas seguras, el cofre conviene en promedio. Si fueran 25 seguras, no. Las decisiones más interesantes aparecen cuando los valores esperados están cerca: entonces el jugador elige según su situación y su gusto por el riesgo, no según una respuesta obvia.

El mismo promedio, otra sensación

Compara dos formas de obtener un número entre 2 y 12. Sumar dos dados: el 7 aparece en 6 de las 36 combinaciones y los extremos son raros. Tirar un dado y multiplicar por dos: los resultados 2, 4, 6, 8, 10 y 12 son igual de probables. Ambos tienen un promedio de 7.

A esa dispersión se le llama varianza. Poca varianza da resultados previsibles: el jugador planifica y su habilidad pesa más. Mucha varianza da sorpresas y remontadas, pero también resultados que se sienten injustos. Sumar más dados o dar varias oportunidades la reduce; una sola tirada con un rango amplio la aumenta.

La suerte que se siente justa

Las personas percibimos mal el azar. Creemos que, tras muchos fracasos, el éxito "está por llegar" (la falacia del jugador), aunque el dado no recuerde lo que salió antes. Y un 90 % de acierto que falla dos veces seguidas se siente como una trampa, aunque eso ocurra una de cada cien veces. Por eso muchos juegos usan azar diseñado:

• La bolsa. Se meten los resultados en una bolsa y se sacan sin reposición hasta vaciarla. Las versiones modernas de Tetris reparten así sus siete piezas: cada grupo de siete contiene una de cada tipo, en orden aleatorio.
• La garantía. Si el resultado no llega en cierta cantidad de intentos, se entrega seguro. Elimina la cola de mala suerte.
• La probabilidad creciente. Cada fracaso sube un poco la probabilidad del siguiente intento, y el éxito la devuelve a su valor inicial.

Simula antes de jugar

Cuando el cálculo se complica, simula. En una hoja de cálculo en español, ALEATORIO.ENTRE(1;6) imita un dado; copia la celda en mil filas y tendrás mil tiradas. Una simulación responde preguntas como cuánto dura una partida o si existe una jugada que gana siempre. No reemplaza a las pruebas con personas, porque las personas no juegan como una fórmula, pero descarta muchos problemas antes de que alguien juegue.

Practícalo hoy

Busca un resultado raro que te guste en un juego que conozcas y estima su probabilidad. Calcula cuántos intentos necesita el 10 % menos afortunado. ¿Te parece aceptable? Si no, ¿qué técnica de azar diseñado usarías?